Question:
Théorèmes inadmissibles en recherche
BCLC
2018-08-29 19:18:52 UTC
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Un de mes amis ingénieurs m'a raconté comment il a dû passer un examen de calcul de rattrapage en raison de son hospitalisation et de l'auto-étude de nombreux sujets manqués. Pour l'examen de rattrapage, il a utilisé la règle de l'Hôpital, même si on ne nous a appris cela que 1 ou 2 examens plus tard. Mon ami m'a dit que le professeur avait écrit

«Vous n'êtes pas encore autorisé à utiliser la règle de L'Hôpital.»

Alors, j'aime dire que La règle de L'Hôpital était inadmissible à cet examen.

Maintenant, il est absolument logique que si vous êtes l'élève fort > que vous n'êtes pas autorisé à utiliser des propositions, des théorèmes, etc. de sujets futurs, d'autant plus pour les cours futurs et surtout pour quelque chose d'aussi basique que le calcul I.Il est également logique d'ajuster pour les majors: les majors en mathématiques ne devraient certainement pas être autorisé à utiliser des sujets en mathématiques discrètes ou en algèbre linéaire pour avoir un avantage sur leurs camarades de classe en calcul I ou II.

Mais après les cours de licence, de maîtrise et de doctorat en mathématiques, vous êtes le chercheur et pas seulement l'étudiant: vous faites votre doctorat en mathématiques dissertation ou même après toi J'ai terminé le doctorat.

La recherche mathématique a-t-elle quelque chose inadmissible?^

Je ne peux pas imaginer que vous ayez quelque chose à prouvez et ensuite vous trouvez un papier qui vous aide à prouver quelque chose, puis vous allez voir votre conseiller qui vous dira alors: "Vous n'êtes pas encore autorisé à utiliser le théorème de Poincaré" ou pour quelque chose qui a été prouvé plus Il y a 12 ans: "Vous n'êtes pas encore autorisé à utiliser la formule de différenciation de Cauchy".

En fait, qu'en est-il des mathématiques extérieures, par exemple, de la physique ou de l'informatique?

J'aurais dit qu'en raison de l'hospitalisation, la règle de L'Hôpital devrait être équitable.
Les commentaires ne sont pas destinés à une discussion approfondie;cette conversation a été [déplacée vers le chat] (https://chat.stackexchange.com/rooms/82520/discussion-on-question-by-bclc-inadmissible-theorems-in-research).Veuillez ne pas publier de réponses dans les commentaires.Si vous souhaitez débattre de la pratique d’interdire la règle de l’Hôpital dans une situation d’examen, veuillez en discuter.Veuillez lire [cette FAQ] (https://academia.meta.stackexchange.com/q/4230) avant de publier un autre commentaire.
Seize réponses:
#1
+114
Federico Poloni
2018-08-29 22:31:52 UTC
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La recherche mathématique a-t-elle quelque chose d'inadmissible?

Non, mais essayer de prouver X sans utiliser Y reste un concept très utile même en recherche , car cela peut conduire à des généralisations intéressantes ou à de nouvelles techniques de preuve qui peuvent être appliquées à un plus grand nombre de problèmes.

Par exemple, dans un certain sens, l'intégrale de Lebesgue est "juste" essayant de prouver les propriétés des intégrales sans utiliser la continuité de f , ou la théorie des matroïdes est "juste" essayer de prouver les propriétés de vecteurs linéairement indépendants sans utiliser beaucoup de propriétés de la structure de l'espace vectoriel.

Donc, c'est loin d'être un exercice inutile, si c'est ce que vous aviez à l'esprit.

C'est une excellente réponse.Il existe un phénomène très large qui peut être paraphrasé comme «la contrainte engendre la créativité».Par exemple.il y a une raison pour laquelle les gens écrivent des haïkus depuis plus de huit cents ans.Mais l'une des essences des «contraintes créatives» est qu'elles sont largement * auto-imposées *.
@PeteL.Clark oh comme la nécessité est la mère de l'invention?Merci PeteL.Clark et Federico Poloni!
À Federico Poloni Cc @PeteL.Clark en quoi la réponse est-elle différente de jakebeal en plus des exemples théoriques?
Pourquoi les citations autour de «est»?
@KonradRudolph Parce qu'il est réducteur de dire que l'intégrale de Lebesgue n'est qu'une théorie d'intégration sans continuité.Un analyste peut objecter qu'il y a beaucoup plus.
@FedericoPoloni Je ne suis pas familier avec cette utilisation de la ponctuation et je ne pense pas qu'elle soit généralement comprise.Je pense que vous voulez probablement écrire «l’intégrale de Lebesgue consiste simplement à essayer de prouver…», qui utilise une ponctuation et une grammaire plus conventionnelles pour exprimer ce que je pense que vous essayez d’exprimer.
@KonradRudolph Bien sûr, pas de problème.N'hésitez pas à le modifier.
@KonradRudolph FWIW, je pense que l'original était bien, même si je n'ai pas de préférence forte.(Anglophone)
excellente réponse.Cependant, pour cette question, je dirais que la tâche d'examen de telles contraintes doit être énoncée explicitement.Par exemple.nous avions des règles d'examen du type "vous pouvez utiliser directement tout ce qui se trouve dans cette liste, tout ce dont vous avez besoin doit être dérivé en commençant par cette liste."À mon humble avis, les étudiants doivent se souvenir de ces règles même si elles ont déjà été énoncées au début de la conférence.(Je considère que ne pas faire cela comme une forme de ces mauvaises questions d'examen où les étudiants ne peuvent obtenir des points complets qu'après une estimation correcte du concept sur lequel le conférencier se dirige)
Une note importante, cependant: je considère qu'il y a une différence très significative entre prouver des résultats en utilisant moins d'hypothèses ou d'axiomes, et «faire semblant» de ne pas connaître les théorèmes qui sont les conséquences des hypothèses que vous supposez.Bannir l'Hôpital, tout en supposant des résultats plus forts comme la valeur moyenne et le théorème de compression, est à la fois mal défini (le premier lemme de ma solution ne peut être qu'une preuve de l'Hopital) et d'un bénéfice douteux.
@PeteL.Clark Il y a même [un XKCD pertinent] (https://xkcd.com/1045/) à ce sujet.
J'ai suivi un cours basé sur des preuves sur l'histoire des mathématiques.Nous avons passé beaucoup de temps à chercher des preuves de choses qui pouvaient être réalisées facilement avec le calcul moderne et la trigonométrie lorsque tout le calcul et la trigonométrie étaient interdits.
@NicHartley La nécessité est la mère de l'invention?
#2
+45
jakebeal
2018-08-29 19:38:37 UTC
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Dans le sens que vous demandez, je ne peux pas imaginer qu'une méthode soit déclarée inadmissible parce que le chercheur n'est "pas prêt pour cela". Toute approche intellectuelle est potentiellement un jeu équitable.

Si le but spécifique d'une œuvre est de trouver une autre approche pour établir quelque chose, cependant, il se pourrait bien qu'une ou plusieurs méthodes antérieures soient exclues portée, car il supposerait le résultat que vous souhaitez établir par un autre chemin indépendant. Par exemple, la constante e a été dérivée de plusieurs manières.

Enfin, une fois que vous sortez de la théorie pure et que vous vous lancez dans un travail expérimental, il faut également considérer l'éthique d'un expérimental méthode. De nombreuses approches potentielles sont considérées comme inadmissibles en raison de la nature répréhensible de l'expérience. Dans les cas extrêmes, de telles expériences médicales nazies, même en faisant référence à des travaux antérieurs, peuvent être considérées comme inadmissibles.

Ah, vous voulez dire que si vous voulez, disons, prouver [la formule d'inversion de Fourier de manière probabiliste] (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715218302153), vous voudriez éviter tout ce qui ressemble à ce que voussavent déjà pour être la / les preuve (s) de la formule d'inversion de Fourier parce que ce serait vaincre venir avec une preuve différente?Ou quelque chose comme [ma question ici] (https://math.stackexchange.com/questions/2895930/prove-cyclic-subgroup-has-n-distinct-elements-langle-x-rangle-1-x-x2/2895931# comment5981035_2895930)?Merci jakebeal!
Re en dehors du pur: OK maintenant, cela semble assez évident avec le recul (c'est-à-dire une question stupide pour l'extérieur du pur).Je pense que c'est beaucoup moins évident pour le pur
#3
+32
BlindKungFuMaster
2018-08-30 16:19:47 UTC
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Il convient de souligner que les théorèmes sont généralement inadmissibles s'ils conduisent à la démonstration du théorème circulaire . Si vous étudiez les mathématiques, vous apprenez comment les théories mathématiques sont construites lemme par lemme et théorème par théorème. Ces théorèmes et leurs dépendances forment un graphe acyclique dirigé (DAG).

Si on vous demande de reproduire la preuve d'un certain théorème et que vous utilisez un résultat "plus tard", ce résultat dépend généralement du théorème que vous êtes censé prouver, donc l'utiliser n'est pas seulement inadmissible pour l'éducation raisons, cela conduirait en fait à une preuve incorrecte dans le contexte du DAG.

En ce sens, il ne peut y avoir de théorèmes inadmissibles en recherche, car la recherche consiste généralement à prouver les "derniers" théorèmes. Cependant, si vous publiez une preuve plus courte, plus élégante ou plus belle d'un résultat connu, vous devrez peut-être rechercher à nouveau des théorèmes inadmissibles.

+1 pour évoquer explicitement ce qui semble n'avoir été qu'implicite, ou mentionné dans les commentaires d'autres réponses.J'ai un souvenir flou de la notation de l'examen complet de quelqu'un au Canada, où la simplicité de l'algèbre des matrices n-par-n (qui portaient des notes non négligeables) a été prouvée en faisant appel au théorème de structure de Wedderburn ...
C'est la * bonne * réponse à mon avis.Il serait renforcé en expliquant ce que cela a à voir avec l'Hôpital comme dans le commentaire de Nate Eldridge.Mais que signifie DAG?
@NoahSnyder: DAG signifie sans aucun doute [graphique acyclique dirigé] (https://en.wikipedia.org/wiki/Directed_acyclic_graph).
Merci @JW:!Je m'attendais à ce que ce soit un terme technique en pédagogie ou en philosophie des sciences, pas en mathématiques.
La partie acyclique des DAG est probablement formulée un peu négligemment.Il est assez courant d'avoir des théorèmes A et B qui sont des équivalents essentiels, de sorte que A peut être prouvé à partir de B et vice versa.Cela crée un cycle évident, mais cela n'a pas d'importance.Il y a alors au moins deux sous-graphes acycliques qui relient le théorème à prouver et ses axiomes - les axiomes étant les racines du graphe.IOW, bien que toute preuve particulière soit acyclique, leur union ne l'est pas.
Dans Philosophy of Science, je suppose que cette notion justifie des accusations de raisonnement circulaire, parfois faites dans l'intention de produire * Paradigm Shift *.Existe-t-il une «règle d'untel» pour capturer ce principe (c'est-à-dire que la démonstration d'un théorème circulaire n'est pas un élément de départ)?
Un exemple peut-être très courant d'une telle circularité (et en particulier pertinent pour le contexte de l'OP) est de calculer $ \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin x} x $ en utilisant l'Hôpital, en calculant peut-être cette limite "manuellement"aurait pu être important de trouver le dérivé du sinus en premier lieu ...
@elliotsvensson: Je devrais probablement vous diriger vers https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_reducibility, mais le mot _axiom_ est déjà un concept important ici.Le raisonnement circulaire par définition ne parvient pas à prouver un théorème à partir des axiomes postulés, car il prouve simplement que le théorème est vrai s'il est vrai et faux s'il est faux.
@MSalters: Les théorèmes forment un graphe acyclique.Si vous démontrez l'équivalence, entre le théorème1 et le théorème2 vous démontrez th2 en utilisant le th1 déjà prouvé.Mais lorsque vous utilisez ensuite th2 pour "prouver" th1, vous ne prouvez pas réellement th1.Vous ne pouvez pas prouver th1 à partir de th2, car vous avez utilisé th1 pour prouver th2.Au lieu de cela, vous prouvez "th2 -> th1".C'est une différence et c'est plutôt le fait qu'on a tendance à passer sous silence ces subtiles différences qui est un peu insouciant.(Bien que le libellé de ma réponse puisse bien sûr être amélioré de plusieurs manières)
@BlindKungFuMaster: Mon point est que lorsque vous pouvez prouver à la fois th1 et th2 à partir des axiomes a1 et a2, il n'est pas étrange que th1 puisse alternativement être prouvé à partir de th2 à la place, et aussi th2 à partir de th1.L'erreur est de supposer qu'il n'y a qu'une seule preuve possible.
@MSalters: Bien sûr, différentes preuves sont possibles.Mais lors de la construction d'une théorie mathématique dans le cadre d'un cours magistral, vous démontrez les théorèmes une fois.D'autres preuves ne prouvent pas le théorème.Ils prouvent des équivalences ou des implications.
#4
+30
Tobias Kildetoft
2018-08-29 20:05:44 UTC
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S'il n'y a en effet pas de théorèmes inadmissibles en recherche, il y a certaines choses que l'on essaie parfois d'éviter.

Deux exemples me viennent à l'esprit:

Le premier est la classification des groupes simples finis. La classification elle-même n'est pas particulièrement compliquée, mais la preuve l'est de manière absurde. Cela fait que les mathématiciens travaillant en théorie des groupes préfèrent éviter de l'utiliser lorsque cela est possible. Il est en fait assez souvent explicitement souligné dans un article si un résultat clé en dépend.

La raison de cette préférence était probablement dans une certaine mesure à l'origine que la preuve était trop compliquée pour que les gens aient pleinement confiance dans, mais j'ai l'impression que ce n'est plus le cas, et la préférence est maintenant due au fait que le fait de s'appuyer sur la classification rend la «vraie raison» de la vérité d'un résultat plus opaque et donc moins susceptible de conduire à d'autres


L'autre exemple est l'énorme effort qui a été fait pour essayer de prouver la soi-disant conjecture de Kazhdan-Lusztig en utilisant des méthodes purement algébriques.

Le résultat lui-même est de nature algébrique, mais la preuve originale utilise beaucoup de résultats très profonds de la géométrie, ce qui a rendu impossible son utilisation comme tremplin vers des paramètres ne permettant pas cette structure géométrique.


Une telle La preuve algébrique a été réalisée en 2012 par Elias et Williamson, lorsqu'ils ont prouvé la conjecture de Soergel, qui a le K La conjecture azhdan-Lusztig comme l'une de plusieurs conséquences.

Les techniques utilisées dans cette preuve permettaient exactement le genre de généralisations espérées, conduisant d'abord à une réfutation de la conjecture de Lusztig en 2013 (un analogue de $ p $ caractéristique de la conjecture de Kazhdan-Lusztig), puis à une preuve d'un remplacement de la conjecture de Lusztig en 2015 (pour le type $ A $) et 2017 (en général), au moins sous certaines hypothèses modérées sur la caractéristique.

Elias et Williamson n'ont-ils pas mis la conjecture de KL sur un pied algébrique, ou est-ce que je me souviens mal des choses?
@darijgrinberg Ils l'ont fait.Je voulais en fait ajouter cela, mais je l'ai encore oublié en tapant.J'ai ajouté quelques détails à ce sujet.
#5
+17
GEdgar
2018-08-29 21:55:32 UTC
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Il y a des cas où le chercheur se limite à ne pas utiliser certains théorèmes. Exemple:

Atle Selberg, "Une preuve élémentaire du théorème des nombres premiers". Ann. of Math. (2) 50 (1949), 305-313.

L'auteur se limite à n'utiliser que "élémentaire" (dans un sens technique) méthodes.

D'autres cas peuvent être des preuves en géométrie en utilisant uniquement une règle et des compas. Gauss a montré que le 257-gon régulier peut être construit avec une règle et des compas. Je ne considérerais pas cela comme "une nouvelle preuve d'un résultat connu".

Alors comme jakebeal?
Ce cas est différent parce que les chercheurs viennent de montrer une nouvelle preuve pour un théorème connu, mais qui est plus simple (ou plus élégante) que les preuves connues.En mathématiques, il y a une sorte de consensus sur le fait que les preuves plus simples sont meilleures (pour de nombreuses raisons, par exemple, elles sont plus faciles à vérifier et dépendent généralement de résultats plus faibles), donc, une preuve élémentaire est un résultat de recherche original même si c'estune preuve du "même type" que les preuves existantes (par exemple, une preuve algébrique plus simple quand une autre preuve algébrique est déjà connue).
@HilderVitorLimaPereira, si je peux dire un peu, la preuve élémentaire du théorème des nombres premiers est considérée par la plupart des gens qui l'ont étudiée comme ni plus simple ni plus élégante que la famille analytique des preuves.Il est cependant plus «élémentaire» (en particulier, n'utilise pas d'analyse complexe ou de Fourier), ce qui est également une caractéristique très importante et intéressante.Il est certain que sa découverte a été un résultat de recherche majeur, donc dans ce sens, vous faites valoir un argument valable et valable.
@DanRomik Je vois.Oui, quand j'ai dit «résultats plus faibles», je pensais en fait à des résultats plus élémentaires dans le sens où ils utilisent des théories qui ne dépendent pas d'une séquence profonde de constructions et d'autres théorèmes ou qui sont considérées comme des connaissances de base dans la communauté mathématique.Merci pour ce commentaire.
@HilderVitorLimaPereira peut-être que cette pensée pourrait être qualifiée de «revendications plus faibles»?
#6
+11
Tommi
2018-08-29 20:36:55 UTC
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L'erreur, telle qu'elle est, faite par votre ami n'était pas l'utilisation de l'Hôpital, mais le manque de preuve qu'elle est correcte. S'il avait énoncé l'Hôpital comme un lemme et fourni une preuve suffisamment élémentaire, alors le conférencier n'aurait probablement pas eu de problème avec la solution.

Un phénomène analogue se produit dans la recherche mathématique. Il y a beaucoup de résultats folkloriques, où les chercheurs sont à peu près sûrs que le résultat est vrai, et les techniques pour prouver le résultat sont connues, mais personne n'a écrit la preuve ou au moins l'a publiée. On peut les trouver, par exemple, dans la théorie classique de la régularité pour les équations aux dérivées partielles.

Doit-on fournir une preuve d'un tel résultat en l'utilisant comme outil? Parfois, les gens se réfèrent simplement au résultat sans être explicite à ce sujet. Parfois, ils le prouvent «parce qu'on ne trouve pas de preuve dans la littérature», même si la preuve est simple ou pas au point d'un article donné. Il n'y a pas de solution absolument correcte dans ces cas.

Je pense que les résultats du folklore sont aussi près d '"inadmissibles" que l'on obtient en mathématiques de recherche; il faut faire attention à eux, parfois les prouver, mais parfois ils sont aussi utilisés sans preuve.

Je n'ai trouvé que 3 exemples de «impossible de trouver une preuve dans la littérature» sur Google.Voici [un] (http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~takumiy/papers/Ozawa-Yokota.pdf).Est-ce vraiment plus courant?(dans peut-être des papiers qui ne sont pas du domaine public)
Votre premier paragraphe a du sens si l'élève écrit un papier pour ses devoirs, mais semble un peu trop pour un examen.Mais vous ne semblez pas répondre à la question principale.Est-ce que quelque chose est interdit dans la recherche.En supposant que ce soit vrai.
Exemple de phrase: "La preuve est tout à fait standard et est généralement donnée pour le cas K = R [30].Nous montrons que la même preuve fonctionne pour K = C ". Les phrases ne seront probablement pas uniformes. Je ne peux pas dire à quelle fréquence cela se produit, mais cela arrive.
@Buffy Les résultats du folklore sont en quelque sorte similaires, à mon avis, comme j'ai essayé de l'exprimer dans cette réponse.Leur utilisation peut être acceptable ou non, selon les critiques, je suppose.
@Buffy Le premier paragraphe est une introduction à la réponse qui est le folklore.Pas vrai, Tommi Brander?
@Buffy J'ai essayé de rendre mon point plus explicite dans le nouveau dernier paragraphe.
Eh bien, bien sûr, si quelque chose n'a pas été prouvé, il ne devrait pas être utilisé.Mais ce ne sont pas vraiment les "mathématiques" qui sont interdites, mais les "pseudo-mathématiques", je suppose.Je ne pense pas que ce soit du tout la même chose.
@Buffy Vous êtes libre de ne pas être d'accord avec la réponse, auquel cas je crois que le vote négatif est la bonne marche à suivre.
En fait, je déconseille rarement à moins qu'une question ou une réponse ne suggère de faire le mal.Ce n'est pas le cas ici.Je n'ai pas besoin de réponses optimales ou même d'accord.Mais si vous voulez un vote négatif, suggérez quelque chose de vraiment mauvais.Mes commentaires, cependant, ne sont que des suggestions pour envisager des choses supplémentaires et des alternatives.J'explique généralement les votes négatifs avec un commentaire BTW, par courtoisie.Je ne fais une exception que pour le vraiment vraiment pervers: battre littéralement des étudiants (mentalement ou physiquement), par exemple.
En fait, ce que je pense faire ici, c'est exactement ce que je fais avec les étudiants.Plutôt que de marquer une réponse «fausse», je suggérerai à l'élève d'examiner le problème plus profondément et plus complètement.C'est plus facile à faire sur des papiers que sur des examens, bien sûr.
@BCLC: C'est plus courant que vous ne le pensez.Pour un seul exemple de formulation, voir ["c'est du folklore ça" sur Google Scholar] (https://scholar.google.co.uk/scholar?q=mathematics+ "c'est + c'est + folklore + ça").
Tommi Brander, dans le lien d'@user21820, est [le premier article, qui est de Terry Tao] (https://msp.org/apde/2009/2-3/p04.xhtml), lié à la «théorie de la régularité classique pouréquations aux dérivées partielles »?
@BCLC Euh ... je suppose?Ce n'est pas un schéma de classification précis.Pourquoi demandez-vous?
@TommiBrander bien le papier ressemble à un bon exemple de votre exemple
Avez-vous des exemples du folklore de régularité mentionné?
#7
+10
Jessica B
2018-08-29 20:12:16 UTC
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Il est peut-être intéressant de noter que certains résultats sont en un sens inadmissibles car ils ne sont pas en fait des théorèmes. Certaines conjectures / axiomes sont si centraux qu'ils sont largement utilisés, même s'ils n'ont pas encore été établis. Les preuves s'appuyant sur celles-ci devraient le rendre clair dans les hypothèses. Cependant, il ne serait pas si difficile de passer une mauvaise journée et d'oublier que quelque chose que vous utilisez fréquemment n'a pas encore été prouvé, ou qu'il est nécessaire pour un résultat ultérieur que vous souhaitez utiliser.

Peut-être que Poincaré était un mauvais exemple parce que c'était une conjecture avec une prime élevée pendant un certain temps, mais supposons que j'ai utilisé quelque chose qui avait fait ses preuves depuis des décennies.Votre réponse est maintenant ...?
Il y a (malheureusement ...) tout un spectre entre «théorème sans équivoque» et «conjecture» en combinatoire et en géométrie, en raison des méthodes rigoureuses qui traînent derrière le type d'arguments que les chercheurs utilisent réellement.
@BCLC En fait, la conjecture de Poincaré était largement «utilisée» avant sa démonstration.Les théorèmes qui en résultent incluent une hypothèse de «pas de faux 3 boules».Mais je connais aussi un article prouvant un résultat topologique en utilisant l'hypothèse du continuum généralisé.
@darijgrinberg Je ne suis pas d'accord avec votre affirmation.Si quelque chose est considéré comme vrai, quel que soit le niveau de confiance, mais n'est pas un théorème «sans équivoque» (c'est-à-dire un «théorème»), alors c'est une conjecture, et non «quelque part sur le spectre entre le théorème sans équivoque et la conjecture».Je vous mets au défi de me montrer un article purement mathématique, publié dans une revue crédible, qui utilise une terminologie différente.Je suis presque sûr de comprendre ce que vous voulez dire, mais d'autres ne le feront probablement pas, et votre utilisation d'un adjectif comme «sans équivoque» à côté de «théorème» est susceptible de semer la confusion et amener certaines personnes à réfléchir..
... (à tort), qu'il existe des théorèmes «équivoques».
@DanRomik: Je suppose que j'étais ambigu.Bien sûr, ces choses sont énoncées comme des théorèmes dans les articles dans lesquels elles sont publiées. Mais lorsque vous commencez à interroger les gens à leur sujet, vous commencez à entendre des eehms et des uuhms.Je ne pense pas que le problème se concentre sur certains auteurs - c'est plutôt [spécifique à certains types de combinatoires] (https://mathoverflow.net/questions/309191), et les mêmes personnes qui écrivent très clairement sur (disons)l'algèbre devient vague et trouble quand ils ont besoin des propriétés de RSK ou Hillman-Grassl ...
@darijgrinberg ok, je comprends mieux maintenant ce que vous vouliez dire, merci pour la clarification.Et question MO intéressante!
#8
+8
epa095
2018-08-30 01:26:03 UTC
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Dans la logique intuitionniste et les mathématiques constructives, nous essayons de prouver des choses sans la loi du milieu exclu, qui exclut de nombreux outils normaux utilisés en mathématiques. Et en logique en général, nous essayons souvent de prouver des choses en utilisant uniquement un ensemble défini d'axiomes, ce qui signifie souvent que nous ne sommes pas autorisés à suivre nos intuitions «normales». Surtout en prouvant quelque chose dans plusieurs systèmes axiomatiques de force différente, vous pouvez obtenir que certains outils ne deviennent disponibles que vers la fin (les systèmes les plus puissants), et sont en tant que tels inadmissibles dans les systèmes les plus faibles.

C'est une bonne chose à faire, mais ce n'est pas la même chose que d'avoir des parties de mathématiques séparées de vous par un conseiller à moins que vous ne travailliez tous les deux dans cet espace.L'axiome du choix est un autre exemple qui explore la preuve dans un espace réduit.J'ai déjà travaillé dans des systèmes avec un petit ensemble d'axiomes dans lesquels plus pouvait être vrai, mais moins pouvait être prouvé.Amusement.
Dans la même veine, travailler en [mathématiques inversées] (https://en.wikipedia.org/wiki/Reverse_mathematics) nécessite généralement que ses arguments soient prouvables à partir de systèmes d'axiomes plutôt faibles, ce qui entraîne toutes sortes de complications qui ne le seraient pas.être présent en utilisant des ensembles standard d'hypothèses.
#9
+6
Buffy
2018-08-29 19:34:53 UTC
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Pour répondre à votre question principale, non . Rien n'est interdit. Tout conseiller autoriserait (ou du moins devrait) toutes les mathématiques valides. Il n'y a rien en mathématiques qui soit interdit, en particulier dans la recherche doctorale. Bien sûr, cela implique l'acceptation (désormais établie) du théorème de Poincaré. Avant une preuve acceptée, vous ne pouviez pas compter dessus.

En fait, vous pouvez même rédiger une thèse basée sur un hypothétique (si le Grand Théorème du Prof Buffy est vrai, alors il s'ensuit que ...). Vous pouvez explorer les conséquences de choses non prouvées. Parfois, cela aide à les relier à des résultats connus, conduisant à une preuve du "grand théorème" et parfois cela aide à conduire à une contradiction le montrant faux.


Cependant, j'ai un problème avec le contexte que vous avez donné sur ce qui convient à l'enseignement et à l'examen des étudiants. Je mets en doute la sagesse du premier professeur de refuser tout ce que l'étudiant sait. Cela semble myope et transforme le professeur en une porte qui ne laisse passer que certaines choses.

Bien sûr, si le professeur veut tester l'étudiant sur une technique particulière, il peut essayer de trouver des questions qui le font, mais cela souligne également la stupidité fondamentale des examens en général. Il existe d'autres moyens de s'assurer que l'élève apprend les techniques essentielles.

Une formation universitaire n'est pas une question de concurrence avec les autres étudiants et le problème (horreur) d'un avantage injuste. il s'agit d'apprendre. Si le professeur ou le système évalue les étudiants de manière compétitive, ils font un mauvais travail.

Si vous avez les 20 meilleurs élèves du monde et que vous notez de manière purement compétitive, alors la moitié d'entre eux sera en dessous de la moyenne.

J'ai l'impression que vous avez mal compris la question.
De quelle manière, s'il vous plaît @JessicaB?
@Buffy: La question ne concernait pas vraiment la classe.La question était de savoir si des éléments «inadmissibles» existent au niveau des études supérieures.
@cHao, s'il vous plaît voir le long paragraphe dans lequel il est directement adressé.
@Buffy: Mais l'autre 2/3 de la réponse concerne simplement l'exemple de la classe.La réponse à la question réelle peut facilement se perdre dans le bruit.
@cHao, Je l'ai déplacé un peu.J'espère que vous ne vous opposez plus.
@Buffy: fonctionne pour moi.Ici, ayez un vote favorable.:)
Une des raisons de «rejeter» les résultats non encore étudiés est que cela permet d'éviter la logique circulaire.Un exemple standard: on demande à l'étudiant de montrer que lim_ {x -> 0} sin (x) / x = 1. L'élève applique la règle de L'Hôpital, en tirant parti du fait que la dérivée de sin (x) est cos (x).Cependant, la manière habituelle de prouver que la dérivée de sin (x) est cos (x) nécessite de connaître la valeur de lim_ {x -> 0} sin (x) / x.Si vous «interdisez» la règle de L'Hôpital de résoudre le problème d'origine, vous évitez que ce problème se produise.
@NateEldredge, si vous dites "prouvez" X "sans utiliser L'Hôpital", alors c'est une bonne question.Mais sans ce qualificatif, comment pouvez-vous honnêtement, après coup, rétrograder l'élève?J'appellerais «faute».Alors oui, interdisez-le si vous le souhaitez, mais rendez-le explicite.Cela ne semble pas être le cas dans cette configuration.
Eh bien, vous pouvez avoir une politique de cours permanent pour ne pas supposer des résultats non encore prouvés.Ceci est suffisamment courant pour que l'instructeur ait pu supposer que cela allait de soi.Ou bien, le déclassement était peut-être en fait pour une logique circulaire, mais le raisonnement a été mal expliqué ou mal compris.
@NateEldredge, ce que vous dites _semble_ raisonnable, mais n'est pas dans ce cas.L'étudiant a été hospitalisé et auto-étudié.C'était en soi un handicap.Maintenant, si vous voulez imposer (après coup) un autre handicap, j'appelle «faute».C'est précisément pourquoi les examens sont un si mauvais substitut pour assurer l'apprentissage.L'instructeur ne peut raisonnablement pas penser à tout.On ne devrait pas s'attendre à ce que l'élève connaisse des méta-règles secrètes.Oui, l'étudiant doit comprendre le raisonnement circulaire, mais l'examen est un mauvais moyen de le faire.La pression seule vous fait saisir la première solution raisonnable.
@Buffy Mais où tracer la ligne alors?Disons qu'un examen de théorie des groupes demande à montrer qu'un groupe d'un certain ordre n'est pas simple.L'élève devrait-il être autorisé à dire simplement «suit de la classification», ou peut-être simplement (dans le cas où l'ordre est impair) «suit de Feit-Thompson»?
@TobiasKildetoft, où je trace la ligne dépend trop des examens.Mais si un élève donne une réponse décalée, plutôt que de simplement la marquer comme "fausse", vous pouvez explorer avec l'élève ce qui se passe et, peut-être, augmenter sa compréhension.Faites travailler les élèves, et ne vous souvenez pas simplement de choses dans un environnement à haute pression.
Buffy, cc @NateEldredge Comment est-ce une méta-règle secrète de ne pas utiliser de futurs chapitres?Ah, ok je pense voir le malentendu.La règle de l'Hôpital dans notre manuel (Stewart) se trouve au chapitre 4 tandis que l'examen (j'ai oublié si c'était le deuxième examen ou la mi-session) couvre au maximum les chapitres 1 à 3.discuté avec les sujets des chapitres 1 à 3 et ensuite dit que pour l'examen, la règle de L'Hôpital ne sera pas autorisée.Je pense que cela aurait dû être clair parce que le commentaire était "Vous n'êtes pas encore autorisé à utiliser la règle de L'Hôpital."Puis encore ...
... je suppose qu'il est possible d'avoir commencé le chapitre 4 avant même que tous les examens des chapitres 1 à 3 ne soient terminés, par exemple le chapitre 3 est terminé le lundi, le chapitre 4 commence le mardi mais ensuite l'examen du chapitre 3 est le vendredi.Par conséquent, la règle de L'Hôpital pourrait être discutée avant l'examen du chapitre 3 mais l'examen du chapitre 3 ne permet pas la règle de l'Hôpital.Est-ce ce que vous aviez en tête?Peut-être n'étais-je pas clair alors.Dans ce cas, je pourrais substituer la règle de L'Hôpital à la convergence des séries ou aux limites multivariables.Mais ce n'est pas vraiment le but de la question ...
@BCLC, Je ne comprends pas le commentaire.Si une règle explicite est donnée, cela ne me pose aucun problème.L'étudiant non plus.Mais la question initiale ne disait pas cela.
Imaginez que j'ai dit convergence des séries au lieu de la règle de L'Hôpital.Votre réponse change-t-elle?
Désolé, je ne vais pas spéculer.C'est devenu un argument sans fin.Cela perd du sens.Considérez, s'il vous plaît, mes commentaires sur les examens en général.
Je suis d’accord avec la position d’@NateEldredge.Ce problème a déjà été abordé [ici] (https://academia.stackexchange.com/q/80898/40589).
Éviter la logique circulaire semble être une bonne idée, mais cela évite la question des définitions.Si je * définis * sin (x) en termes de série de puissance, ou d'exponentielle complexe, ce n'est pas * évident * pourquoi j'ai besoin de la limite de sin (x) / x pour le différencier, même s'il y a une raison profonde.Ou dois-je alors prouver que ma définition de sin (x) a quelque chose en commun avec la géométrie des cercles, avant de pouvoir l'utiliser dans un examen ???
Je pense que la règle de L'Hôpital est * uniquement pernicieuse * et conduit les élèves à ne pas apprendre les limites et à tout oublier immédiatement sur les limites, d'une manière qui n'a essentiellement aucun bon parallèle ailleurs dans le programme de mathématiques élémentaire.Je ne pense donc pas que vous puissiez remplacer quelque chose d'autre et en faire la même question.Quelqu'un qui utilise L'Hopital pour dire compute \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {x ^ 2} {x} ne montre pas une compréhension plus avancée du matériel, il montre qu'il ne comprend pas le matériel!
#10
+4
Dmitry Savostyanov
2018-08-29 20:07:59 UTC
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Je ne pense pas qu'il y ait de théorèmes inadmissibles dans la recherche, bien qu'il faille évidemment se soucier de ne pas s'appuyer sur des hypothèses qui n'ont pas encore été prouvées pour un problème particulier.

Cependant, en termes de doctorat ou postdoctorant, j'estime que certaines approches peuvent être plutôt «hors sujet» pour des raisons pas vraiment académiques. Par exemple, si vous obtenez un financement de doctorat pour étudier le sujet X, vous ne devriez normalement pas l'utiliser pour étudier Y. De même, si vous obtenez un post-doctorat dans une équipe qui développe la méthode A, et que vous souhaitez étudier la méthode B de votre concurrent, votre Les PI peuvent vouloir limiter le temps que vous passez sur B, afin de ne pas dépasser le temps que vous passez à développer A. Certains PI sont assez notoires en ce sens qu'ils ne vous toléreront même pas de toucher à une méthode C, à cause de leur raisons importantes, donc même si vous avez la pleine liberté académique d'aller explorer la méthode C si vous l'aimez, il peut être "inadmissible" de le faire dans le cadre de vos conditions de travail actuelles.

Merci Dmitry Savostyanov!Cela ressemble à quelque chose que j'avais en tête, mais c'est pour la recherche appliquée?Ou aussi pour la recherche théorique?
Même en mathématiques pures, les gens peuvent parfois être très protecteurs.Et les personnes en mathématiques appliquées peuvent être très ouvertes d'esprit.Il s'agit peut-être plutôt d'approches personnelles de la science.
#11
+3
user47796
2018-08-30 14:48:35 UTC
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Je vais donner un point de vue connexe venant de l'extérieur du milieu universitaire, à savoir une organisation de recherche commerciale / gouvernementale.

J'ai rencontré des chercheurs et des gestionnaires qui sont gênés par ce que j'appelle un mentalité d'examen , dans laquelle ils supposent qu'une question de recherche ne peut être répondue qu'avec un ensemble de données fourni, et ne peuvent pas faire référence à d'autres données, résultats, études, etc.

J'ai trouvé cette mentalité d'examen est extrêmement limitante et vient du fait que le chercheur ou le gestionnaire a une idée fausse sur la recherche qui a été endoctrinée à cause de leur éducation (principalement basée sur des examens).

l'utilisation de données / techniques / études sur des bases arbitraires étouffe la recherche. Cela conduit à des occasions manquées pour les organisations commerciales de faire des profits, ou des conséquences manquées lorsque les gouvernements introduisent une nouvelle politique, ou des effets secondaires manqués de nouveaux médicaments, etc.

#12
+2
PsySp
2018-08-30 20:26:28 UTC
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Je vais ajouter un petit exemple de l'informatique théorique et de la conception d'algorithmes.

C'est un problème ouvert très important de trouver un combinatoire (ou même basé sur LP ) qui atteint la borne de Goemans-Williamson (0,878) pour approximer le problème MaxCut en temps polynomial.

Nous savons qu'en utilisant les techniques de programmation semi-définie, une borne sur le facteur d'approximation de alpha = 0,878 peut être réalisé dans le temps poly. Mais pouvons-nous atteindre cette limite en utilisant d'autres techniques? Un peu moins ambitieux mais probablement tout aussi important: peut-on trouver un algorithme combinatoire avec une garantie d'approximation strictement meilleure que 1/2?

Luca Trevisan avait fait des progrès importants dans cette direction en utilisant des techniques spectrales.

#13
  0
Mick
2018-08-29 19:38:47 UTC
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Dans la recherche, vous utiliseriez la méthode la plus applicable (que vous connaissez) pour démontrer une solution, et vous seriez peut-être également dans des situations où l'on vous pose des questions ou vous propose des approches alternatives à votre solution (puis vous apprenez une nouvelle méthode) .

Dans l'exemple où la règle de L'Hôpital n'était "pas autorisée", il se pourrait que la question ait pu être mieux formulée car elle ressemble à une question "résoudre cette", en supposant que seules les méthodes enseignées dans le cours sont connus des étudiants et, par conséquent, seules les méthodes enseignées dans le cours seront utilisées dans l'examen.

Il n'y avait aucune ambiguïté dans la question.La règle de l'Hôpital ne nous a été présentée qu'à notre troisième ou quatrième examen.Mon ami ingénieur était en train de se maquiller pour notre deuxième examen, notre mi-session ou les deux (j'ai oublié).Cela aurait été comme utiliser la définition de séquence de la continuité dans le premier examen d'une classe d'analyse élémentaire si cette classe enseigne les séquences en dernier (comme le mien l'a fait)
Je comprends cela, mais le moment où il a été introduit n'a aucune incidence sur la question de savoir si les élèves savent déjà comment l'utiliser.Ce serait la même chose de demander: «Montrez que la première dérivée de x ^ 2 est 2x, puis dites aux élèves qui l'ont résolu en utilisant la différenciation implicite que cela n'est pas autorisé et qu'ils auraient dû utiliser la différenciation explicite.
Mick, mais c'était un examen de rattrapage.Ce serait injuste pour les étudiants qui ont passé l'examen à temps parce qu'on ne connaissait pas la règle de L'Hôpital à l'époque?
Il ne s'agit pas d'être juste.Il s'agit de construire les mathématiques sur elles-mêmes.On s'attend souvent à ce que vous résolviez les choses d'une certaine manière afin de vous assurer de comprendre ce que les éléments ultérieurs vous permettent de simplifier ou d'ignorer.S'il y avait une méthode prévue, elle aurait dû être dans les instructions.Mais c'est une hypothèse courante que si vous ne l'avez pas appris, vous ne le savez pas encore.
Sans nier les autres suggestions sur les raisons pour lesquelles il pourrait être refusé, l'équité envers les autres étudiants n'est pas pertinente.Le but d'un examen est d'évaluer ou de vérifier ce que vous avez appris, non de décider qui remporte un concours.
#14
  0
Observation
2018-09-01 22:46:24 UTC
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Eh bien, dans la recherche en mathématiques pures, je suis sûr que les approximations de force brute par ordinateur sont interdites, sauf comme moyen d'introduire l'intérêt pour le sujet et éventuellement de restreindre le domaine à explorer. Peut-être même pour suggérer une approche de solution.

La recherche mathématique nécessite des équations qui décrivent une réponse exacte et la preuve que la réponse est correcte par dérivation de faits et théorèmes mathématiques établis. Les approximations informatiques peuvent utiliser des intervalles de plus en plus petits pour réduire la portée d'une réponse, mais elles n'atteignent pas en fait la limite infiniment petite du style L'hospital.

Le domaine séparé des dérivations informatisées automatise simplement ce qui est déjà connu. Je suis sûr que de nombreux endroits laissent les chercheurs libres d'utiliser une telle informatisation pour accélérer la documentation du travail dans la mesure où ce logiciel va. Je suis sûr que beaucoup de conseils humains sont encore nécessaires pour formuler le problème, introduire des postulats et choisir les étapes de solution disponibles à essayer. Mais l'essentiel est que toutes ces dérivations logicielles devraient être vérifiées à la main avant tout examen extérieur pour une erreur logicielle et que les techniques restent dans les limites autorisées (la partie IF des théorèmes, etc.).

Et après de telles vérifications manuelles ... combien de chercheurs en mathématiques attribueraient une aide à un logiciel informatique?

Eh bien, j'ai vu des mathématiciens des applications citer le logiciel comme une méthode de vérification rapide pour que mes collègues vérifient le caractère raisonnable du travail dans les années 1980. Dans ces applications, les mathématiques ont parfois une vue mathématique presque d'ingénierie des résultats pratiques, je suppose qu'elles donnent encore aux logiciels informatiques des approximations comme démonstration rapide APRÈS les dérivations formelles. Et j'entends dire que les applications mathématiques résolvent parfois l'approximation la plus proche du problème possible lorsque la solution du problème exact les élude encore. Encore une fois, plus de place pour l'assistance par dérivation de logiciels informatiques. Je ne suis pas sûr que de tels sujets de type recherche opérationnelle correspondent à la définition de la recherche mathématique de tout le monde.

Veuillez éviter de laisser deux réponses distinctes;vous devriez éditer votre premier
Je trouve que cette réponse passe légèrement à côté de la question initiale, car elle semble plus sur l'utilisation des ordinateurs qu'autre chose, et ne répond pas vraiment à la question du PO de savoir s'il existe des situations où l'on ne devrait pas utiliser certains théorèmes tout enFais des recherches
#15
  0
Observation
2018-09-01 22:59:49 UTC
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En termes plus courts, oui, les techniques d'approximation par ordinateur sont souvent utilisées à la manière d'un fusil de chasse pour rechercher des zones de convergence potentielle sur des solutions. Comme dans "donne-moi un indice". Surtout dans les sujets de mathématiques appliquées où les limites du monde réel peuvent être décrites.

Encore une fois, il y a la question de savoir si les problèmes du monde réel autres que la physique fondamentale sont de véritables recherches mathématiques ou des mathématiques appliquées ou même des recherches opérationnelles beaucoup plus lâches.

Mais dans la dérivation réelle de théorèmes à partir de théorèmes sous-jacents et prouvés vers de nouveaux théorèmes ... les ordinateurs sont plus limités aux outils de documentation similaires aux traitements de texte pour la prose. Les outils deviennent de plus en plus importants pour accélérer la vérification d'équation plus courante du travail documenté, car les traitements de texte vérifient l'orthographe et la grammaire pour la prose. Et d'autres domaines dans lesquels l'homme doit remplacer ou rediriger.

Je trouve que cette réponse manque légèrement le point de la question initiale, car elle semble plus sur l'utilisation des ordinateurs qu'autre chose
De plus, ne créez pas deux nouvelles identités d'utilisateur.Enregistrez-en un qui peut être utilisé de manière cohérente
#16
  0
tparker
2018-09-04 08:02:20 UTC
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L'axiome du choix (et ses corollaires) sont assez bien acceptés de nos jours dans la communauté mathématique, mais vous pourriez parfois rencontrer quelques mathématiciens de la vieille école qui pensent que c'est "faux", et donc que tout corollaire qui vous utilisez l'axiome du choix pour prouver qu'il est également «faux». (Bien sûr, ce que cela signifie même pour l'axiome du choix d'être "faux" est une question largement philosophique.)



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 4.0 sous laquelle il est distribué.
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