En physique, nous ne prouvons pas délibérément que la série converge, car nous ne sommes pas intéressés par l'enseignement de concepts comme la convergence. Les cours de physique ne sont pas destinés à être mathématiquement rigoureux. Ce n'est tout simplement pas l'un des objectifs.

Permettez-moi d'ajouter une réflexion à la suite de l'autre article, qui affirme que ce n'est pas une erreur pédagogique. Considérez cela comme une évidence: vous n'avez pas besoin de «dénoncer» le professeur pour ne pas avoir enseigné «correctement». Cependant, il est toujours vrai que vous souhaitiez personnellement approfondir les fondements mathématiques de ces concepts et les trouver importants pour votre compréhension.

C'est génial! Vous pourriez apprendre quelque chose de vraiment intéressant et vous mettre sur la voie de devenir une personne qui fait des progrès scientifiques en vous attaquant à ce genre de questions.

Maintenant, je suggère d'approcher votre professeur de que perspective, au lieu de considérer cela comme un problème avec leur enseignement. Demandez s'il y a des livres ou d'autres ressources que le professeur suggérerait où vous pouvez en apprendre davantage sur les preuves derrière ces affirmations. Si le professeur n'a pas de bonnes suggestions pour vous, essayez de chercher dans des endroits comme Physics.SE. Si vous ne parvenez pas à trouver une preuve suffisamment rigoureuse, il se peut qu'elle n'existe pas (peu probable, mais cela arrive), et cela peut être une opportunité intéressante!

En écho à des parties des autres réponses, et à certains des commentaires: premièrement, il est inexact de déclarer des omissions telles que «preuve de convergence» une «erreur». Il n'y a tout simplement pas d'obligation absolue de vérifier que toutes les parties des mathématiques fonctionnent comme un physicien l'attend pour d'autres raisons. Oui, vous ou moi et d’autres pourriez vouloir voir la preuve, c’est-à-dire la causalité mathématique, mais ce n’est tout simplement pas obligatoire. (A l'inverse, on peut prouver des choses sans manifestations physiques directes ni raisonnement physique ...)

En fait, la "convergence" est simplement une forme simple de ce que l'on pourrait vouloir, et elle-même n'est pas obligatoire (encore moins preuve). En effet, j'ai lu que Poincaré a découvert à la fin du 19e siècle qu'une expansion en série d'une solution à une équation différentielle utilisée pendant de nombreuses décennies (avec succès) en mécanique céleste ne convergeait pas. Non pas que sa convergence ait été difficile à prouver, mais qu'elle a définitivement divergé. Mais / et les gens avaient obtenu des résultats numériques corrects. Eh bien, c'était une "expansion asymptotique", ... mais / et de telles expansions sont plus délicates à certains égards (par exemple, la différenciation par terme) que les séries de puissance convergentes, et les détails mathématiques n'ont pas été complétés pendant plusieurs décennies.

Un autre exemple est PGM Livre de Dirac sur la mécanique quantique, qui utilisait des distributions et des opérateurs illimités de manières qui ne seraient pas justifiées pendant 20 ans (dans les travaux de L. Schwartz). J'ai lu que J. von Neumann et d'autres étaient considérablement perturbés par le manque de «rigueur», voire la prétention de celle-ci, qui les a motivés à essayer de fournir une telle ... Néanmoins, le pouvoir prédictif et explicatif de l'œuvre de Dirac était incontestable, et il aurait été ridicule de l'ignorer parce qu'il ne pouvait pas fournir de preuves, ou s'en moquait.

Comme indiqué ci-dessus, il semble vraiment que les mathématiques difficiles à justifier sont assez tolérables lorsqu'elles prédit quasi-magiquement des détails physiques, ou se révèlent quasi-magiquement comme un outil de comptabilité ou de calcul précis pour des données physiques observables. Phénomènes.

Oui, nous devrions penser très différemment quand / si nous cherchons à «subvertir» ces mathématiques à des situations purement mathématiques, où il n'y a peut-être pas de véritable phénomène physique à observer et à tester. Non, je n'ai pas cette intuition physique qui suggère (à ma perception) des manipulations mathématiques scandaleuses, donc j'ai moi-même absolument besoin de l'un ou des deux exemples lapidaires et de preuves convaincantes (!) Qui m'assurent qu'il y a une «causalité» au-delà du tangible littéral monde. Mais, en fait, l'histoire suggère que beaucoup de mathématiques intéressantes sont venues de cascades mathématiques «scandaleuses» de physiciens imaginatifs, donc ce genre de choses est une bonne source!

Et, oui, parfois la justification purement mathématique de évidemment- les astuces mathématiques nécessaires en physique sont beaucoup plus sophistiquées que l'explication physique immédiate / la motivation / le phénomène. Bien sûr, parfois les mathématiques ne sont pas difficiles, et simplement omises en raison d'un manque d'intérêt. Parfois, les mathématiques sont profondément difficiles, voire impossibles dans une année donnée avec des limitations techniques de l'époque. Ce fait, qui est apparu à maintes reprises, est philosophiquement et scientifiquement provocateur en soi, à mon avis.

Donc, oui, moi aussi, j'ai été dérangé par la lecture de récits de physique-y qui ma perception) des choses mathématiques folles. Il y a longtemps, je pensais que c'était un échec définitif, et que la rigueur était requise et possible. À présent, je vois que ces situations sont beaucoup plus compliquées que cela, et que jauger une instance particulière peut être étonnamment non trivial!

Sans nuire au mérite des réponses plus philosophiques, voici une suggestion pratique plus simple:

• Allez voir votre professeur après les cours ou pendant les heures de réception.
• Dites-lui que puisque vous êtes mineur en mathématiques, vous trouvez le raisonnement mathématique important à suivre.
• Dites-lui que vous ne pouvez parfois pas dire si un pas qu'il fait est en fait trivial, ou peut prendre beaucoup de temps / d'efforts pour justifier rigoureusement.
• Demandez-lui que, quand il fait un "saut mathématique" (le deuxième type ci-dessus), il dit spécifiquement à la classe qu'il le fait. Par exemple, "cette étape nécessite une preuve, mais c'est une étape purement mathématique que nous n'allons pas approfondir."

Vous pouvez bien sûr aussi lui demander un manuel avec plus de rigueur mathématique.

J'espère que le PO ne sera pas trop offensé si je dis que cette question semble montrer une compréhension immature du sens de la rigueur et de la relation entre les différentes disciplines académiques. À titre d'illustration, considérons le problème suivant, qui pourrait être utilisé comme question d'examen sur un examen de physique ou de calcul de première année.

Une tige uniforme avec une masse par unité de longueur b est initialement debout et au repos dans un champ gravitationnel g . A t = 0, la tige est relâchée. Plus tard, t , trouvez la vitesse à laquelle la masse s'écoule au-dessus d'une surface horizontale passant à travers la tige.

Ceux d'entre nous qui sont physiciens ou mathématiciens peuvent facilement trouver "le" réponse, qui est bgt.

Supposons maintenant que nous voulions rendre cela un peu plus difficile afin que nous puissions l'utiliser comme question d'entretien pour un assistant technique potentiel. Nous posons la question, mais maintenant nous demandons spécifiquement un haut niveau de rigueur dans la réponse.

Si le domaine est mathématique, une bonne réponse pourrait être quelque chose du genre suivant. La solution du problème implique un dérivé. Une façon de définir un dérivé est une limite, et les limites sont à leur tour définies à l'aide d'epsilons et de deltas. Voici une preuve epsilon-delta rigoureuse que la limite dont nous parlons converge.

Supposons maintenant que le domaine soit la physique. (Je suis physicien.) Un exemple de réponse agréable et rigoureuse serait celui dans lequel l'interviewé explique pourquoi l'observable dont nous parlons ne peut pas converger vers l'expression bgt . Un argument suffisant pour la non-convergence serait de souligner que la tige est constituée d'atomes, de sorte que le mouvement de la masse sur une ligne horizontale commence à paraître discret une fois que nous sommes descendus à une certaine échelle. (Une réponse encore plus agréable pourrait se concentrer sur des effets qui pourraient être plus pratiquement observables. Par exemple, lorsque le support de la tige est relâché, la perturbation se déplace vers l'extérieur à travers la tige à la vitesse du son, pas instantanément.)

Ces deux approches sont rigoureuses de la connaissance, mais ce sont des notions de rigueur différentes. L'un met l'accent sur l'auto-cohérence interne des mathématiques. L'autre met l'accent sur l'examen attentif de la relation entre les modèles mathématiques et la réalité, ce qui est plus compliqué.

En physique théorique, pour diverses raisons, les normes de rigueur mathématique ont tendance à être plus lâches qu'elles ne le sont en mathématiques. Cependant, les préférences individuelles des physiciens varient considérablement. D'après mon expérience, qui semble être reprise par Pete L. Clark, de nombreux physiciens ont tendance à adopter par défaut une norme de rigueur plus lâche lors de l'enseignement, de sorte que vos enseignants peuvent ou non réfléchir à leur matériel de cours à un niveau de rigueur beaucoup plus strict que celui auquel ils le présentent.

Vous n'êtes certainement pas le seul à être frustré par les sauts de foi mathématique dans les cours de physique et à passer beaucoup de temps à essayer de les remplir . Voici quelques mesures que je recommanderais de faire pour résoudre ce problème, en me basant sur ma propre expérience.

• Essayez de parler à votre enseignant en dehors de la classe des lacunes mathématiques qui vous ont troublé . Vous constaterez peut-être que votre enseignant sait exactement comment les remplir et a simplement omis les détails de sa présentation en classe.

• Cherchez d'autres personnes à l'esprit mathématique dans votre université , en particulier les personnes plus expérimentées, et parlez-leur des choses qui vous déroutent. Comme le note Pete L.Clark, de nombreux physiciens à l'esprit mathématique (et mathématiciens à l'esprit physique!) Ont une réserve privée d'informations rigoureuses sur les parties les moins rigoureuses d'un cours de physique typique, accumulées au fil des années d'expériences comme la vôtre. Dans certaines universités, le département de mathématiques peut être une mine d'or de connaissances comme celle-ci.

• En corollaire, écrivez votre propre travail lorsque vous comblez vous-même les lacunes! Un jour, les trois semaines que vous avez passées à prouver que les séries convergent pourraient sauver quelqu'un d'autre trois semaines de problèmes.

• N'oubliez pas que tout en physique n'a pas été formulé de manière rigoureuse et que certains sujets sont notoirement résistants à la formalisation mathématique. Lorsque vous êtes confus par le raisonnement utilisé dans un cours de physique ou dans la littérature de physique, il peut être difficile de dire si vous avez rencontré une petite fissure qui peut être pavée en quelques heures de réflexion, un grand écart qui peut être comblé en utilisant des techniques sophistiquées cachées dans un coin de la littérature mathématique, ou un gouffre béant que les gens ont essayé et échoué à franchir pendant des décennies. C'est une autre raison pour laquelle parler à des personnes plus expérimentées peut être utile.

D'un autre côté, voici certaines choses que je recommande de ne pas faire.

• Ne considérez pas les lacunes du raisonnement mathématique comme des erreurs, surtout lorsque vous en parlez à d'autres personnes. Cela ne correspond pas à la façon dont la plupart des physiciens abordent le raisonnement mathématique, et cela peut rendre vos conversations désagréablement conflictuelles.

• Si vous avez essayé de faire part de vos confusions à votre professeur après le cours, et ils ont toujours été incapables de vous aider, ne continuez pas à demander, surtout s'ils semblent ennuyés par vos problèmes. Votre enseignant peut simplement préférer une norme de rigueur plus souple que vous, et vous ne pouvez rien y faire. Cherchez plutôt d'autres sources d'aide.

• Ne posez pas de questions sur les sauts de raisonnement pendant le cours. Si votre professeur ne sait pas comment les remplir, rien n'est gagné. Si votre enseignant sait comment les remplir, cela signifie qu'il a pris la décision consciente de ne pas le faire, il pourrait donc préférer vous parler en dehors de la classe.

• Ne vous sentez pas responsable de combler les lacunes mathématiques dans vos cours de physique. Dans les commentaires ici, les gens ont dit que "les étudiants peuvent (et devraient) vérifier que les affirmations faites par leurs professeurs de physique sont effectivement valables" et que "c'est courant apprenez ces concepts et leurs preuves avec rigueur dans le cours de mathématiques. " D'après mon expérience, ces choses ne sont tout simplement pas vraies. Vous rencontrerez des problèmes que vous n'avez pas les outils pour résoudre, et vous rencontrerez des problèmes que personne n'a trouvé les outils à résoudre. Votre confusion n’est pas de votre faute.

• Ne pensez pas non plus que vos professeurs sont responsables de combler les lacunes. Ils font juste de la physique comme la physique est généralement pratiquée, et parfois comme cela doit être fait.

• Ne passez pas trop de temps et d'énergie à essayer de combler les lacunes. Se crêper plusieurs fois contre le mur du fond du canyon, c'est bien, mais à un moment donné, il est préférable de s'éloigner. Vous reviendrez peut-être plus tard et découvrirez que vous avez acquis les outils et les connaissances dont vous avez besoin pour surmonter, ou qu'il y a un pont à quelques kilomètres de là, ou qu'il est peu probable que ce dépassement se produise à n'importe quel moment de ce siècle.

• Mais, cela dit, ne cessez pas de chercher des moyens plus rigoureux et moins déroutants pour comprendre la physique. Les efforts pour consolider les fondements mathématiques de la physique se sont avérés très utiles dans le passé, et je suis fermement convaincu qu'ils continueront à en valoir la peine à l'avenir. Ils peuvent se sentir ingrats, mais ils ne sont pas sans valeur, et je pense que ce sont de bonnes choses à lire et à penser lorsque vous avez le temps et l'énergie à perdre.

J'espère qu'au moins certains de ces conseils vous seront utiles. Si jamais vous apportez vos problèmes de physique mathématique à Math.SE, j'espère que je verrai votre question, et j'espère que j'aurai le temps et les connaissances nécessaires pour y répondre.

En général, vous feriez mieux de vous évaluer suffisamment bien pour appeler un conférencier publiquement, sinon, il y a de nombreuses occasions de faire des corrections en privé. C'est généralement la voie la plus politiquement correcte. Au-delà de cela, vous devez savoir qu'en choisissant de vous y adresser publiquement, vous vous engagez (consciemment ou non) dans une bataille de pouvoir. Une telle bataille peut avoir des résultats positifs ou négatifs.

Plus précisément, j'ai des questions pour vous: pourquoi un conférencier devrait-il prouver qu'une série converge? De plus, les intégrales multidimensionnelles ne devraient-elles pas toujours avoir la même réponse quel que soit le chemin? Sinon, il y a un problème plus profond dans la formulation de l'expression (comme inclure des termes d'un domaine qui n'y appartient pas).