Je ne suis pas d'accord avec Oswald. D'après mon expérience, les étudiants de premier cycle ne prouvent pas souvent de nouvelles choses en mathématiques pures. Je ne dirais même pas que les thèses de maîtrise contiennent souvent de nouveaux résultats. Il y a quelques raisons principales à cela.

Premièrement, les mathématiques pures fonctionnent à un niveau qui n'est pas très accessible pour la plupart des étudiants de premier cycle, même ceux qui font de la recherche. Les étudiants de premier cycle qui font de la recherche sont souvent hors de leur profondeur et tiennent leur vie. Cela peut principalement être attribué au fait de ne pas avoir assez de temps pour se familiariser avec ce qui est considéré comme des mathématiques modernes. La plupart des cours de mathématiques au premier cycle traitent des mathématiques d'il y a 50 à 100 ans (sinon plus).

Deuxièmement, les étudiants de premier cycle n'ont pas souvent l'expérience mathématique pour savoir quel est le bon plan d'attaque quand confrontés à un problème abstrait et nouveau et ils peuvent ne pas savoir comment vérifier leur travail à fond pour s'assurer qu'il n'y a pas d'erreurs ou de maladresses majeures. Beaucoup de mathématiques impliquent une réflexion latérale et il faut beaucoup de temps pour établir ces liens. La partie la plus difficile d'un doctorat en mathématiques pures (à mon avis) est d'apprendre à attaquer un problème que personne n'avait envisagé auparavant. Les techniques standard que d'autres ont utilisées peuvent ne pas vous être utiles du tout pour une raison ou une autre. Un étudiant de premier cycle n'aura pas la créativité pour gérer ce genre de problème, car le type de créativité dont il a besoin vient avec beaucoup d'expérience. Même lorsqu'un étudiant de premier cycle pense avoir prouvé quelque chose, les nuances de son argument ne lui seront probablement pas apparentes. (Cela est particulièrement vrai en ce qui concerne les arguments théoriques d'analyse fonctionnelle / de mesure - le diable est dans les détails.) Ainsi, une preuve proposée peut même ne pas être proche d'avoir raison.

Enfin, peu d'étudiants de premier cycle en mathématiques pures font de la recherche car l'écart qu'ils doivent surmonter entre les cours et les mathématiques modernes est assez important. Ceux qui apportent des contributions en mathématiques pures sont ceux qui sont très, très talentueux et qui ont des antécédents très approfondis (des antécédents qui rivalisent avec les étudiants de maîtrise / doctorat).

Les étudiants de premier cycle en mathématiques pures ne sont pas censés apporter des contributions. Ce n'est pas pour eux la recherche. Initier un étudiant de premier cycle à la recherche sert plusieurs objectifs différents: cela lui fait découvrir des sujets plus avancés et cela lui donne un avant-goût de la recherche afin qu'il puisse prendre une décision éclairée quant à savoir si les études supérieures lui conviennent ou non. En tant que telles, les thèses ressemblent davantage à des enquêtes sur un sujet spécialisé en mathématiques. Il y a beaucoup d'apprentissage indépendant impliqué et il peut y avoir des exemples, des idées et des connexions uniques. Ils ne présentent peut-être pas des œuvres «originales», mais des séances d'affiches sont là pour présenter ce qu'ils ont appris, qu'il soit original ou non. Alors oui, c'est un peu comme une conférence. Ce sont des étudiants de premier cycle et loin d'être des experts dans leur domaine.

Notez que je ne dis pas qu'aucun étudiant de premier cycle ne produit jamais de nouveaux résultats en mathématiques pures (il y a des hauts étudiants qui sont meilleurs que la plupart des doctorants), mais ce n’est pas courant et n’est pas attendu ou considéré comme la norme.

Jusqu'à présent, les réponses contiennent un oui et un non, alors laissez-moi ajouter un oui et un non.

Les étudiants de premier cycle peuvent - et le font souvent - prouver de nouvelles choses, mais presque jamais rien d'important. Il appartient au conseiller de trouver une question intéressante, suffisamment simple pour servir de sujet de thèse, mais non encore traitée dans la littérature. Contrairement à un doctorat, une thèse de licence ou de master est fortement limitée dans le temps, donc en tant que conseiller, vous ne devriez donner un sujet que si vous êtes à peu près certain que quelque chose peut être fait par un chercheur inexpérimenté en peu de temps. D'un autre côté, la simple répétition de la littérature est ennuyeuse pour l'étudiant. Une façon de trouver de bons sujets est de regarder ce que l'on appelle souvent le folklore: chaque manuel contient le théorème que X implique Y, et chaque expert sait que quasi-X suffit déjà, mais personne n'a pris la peine de l'écrire. Cela ne vaudra probablement pas la peine d'être publié, mais prouver un théorème non encore contenu dans la littérature est motivant. Une autre méthode simple consiste à examiner toutes les choses que vous avez exclues de vos propres papiers. Si vous avez élaboré un exemple, mais que vous ne l'avez pas inclus dans une publication, vous pouvez laisser l'élève le généraliser.

Ce que vous ne devriez pas faire est de demander à un élève un problème qui vous intéresse vraiment. l'élève sera frustré, parce que le problème est trop difficile pour lui, alors vous serez frustré, parce que vous passerez beaucoup plus de temps à lui expliquer les choses alors vous auriez besoin de trouver les résultats par vous-même, et finalement tout le monde est frustré, parce que vous trouver une réponse et l'expliquer à l'étudiant.

Oui, les étudiants de premier cycle prouvent souvent de nouvelles choses, en ce sens que chaque année, de nouveaux résultats publiables sont prouvés par des étudiants de premier cycle. Ainsi, bien qu'un nombre relativement restreint d'étudiants de premier cycle en mathématiques participent à de véritables «recherches», il y a certainement des étudiants qui sont capables de faire des découvertes non triviales en tant qu'étudiants de premier cycle, et plus qu'on ne le pense initialement. J'ai été dans des écoles de recherche prestigieuses et dans des universités régionales anti-prestigieuses aux États-Unis. Dans chaque école que j'ai fréquentée, il y avait des étudiants de premier cycle en mathématiques avec des aptitudes pour la recherche publiable. Le talent nécessaire n'est peut-être pas «commun», mais il n'est certainement pas «rare». Les obstacles sont principalement d'ordre culturel et non intellectuel.

Le sujet de la recherche de premier cycle a également fait l'objet d'une question sur MathOverflow, ce qui permet une bonne lecture.

Pour un exemple d'expérience personnelle: j'ai récemment publié un article évalué par des pairs dans ce que je considère comme une revue de haute qualité (et qui n'est en aucun cas une revue "étudiante"), avec un co-auteur étudiant de premier cycle, qui a découvert par lui-même la preuve de l'un des principaux théorèmes entre deux de nos réunions de recherche.

Un autre exemple est le journal Involve , qui est consacré à de véritables recherches d'étudiants. À partir de leur auto-description:

Impliquez des vitrines et encouragez la recherche mathématique de haute qualité impliquant des étudiants de tous les niveaux académiques. Le comité de rédaction est composé de mathématiciens engagés à encourager la participation des étudiants à la recherche.

Les soumissions dans tous les domaines mathématiques sont encouragées. Tous les manuscrits acceptés pour publication dans Involve sont considérés comme publiables dans des revues de qualité dans leurs domaines respectifs et comprennent au moins un tiers des auteurs d'étudiants. Les soumissions doivent inclure une contribution substantielle du corps professoral; la co-rédaction du corps professoral est fortement encouragée. Dans la plupart des cas, la soumission (et la lettre d'accompagnement) doit provenir d'un membre du corps professoral.

Impliquer, combler le fossé entre les extrêmes des revues de recherche purement de premier cycle et des revues de recherche grand public, offre un lieu aux mathématiciens souhaitant encourager l'implication créative des étudiants.

Il est peu probable que les étudiants de premier cycle possèdent l ' ampleur des connaissances attendues pour les doctorants. En particulier en mathématiques, les doctorants sont examinés dans une gamme de matières et sont censés avoir maîtrisé une grande partie du programme de premier cycle. La recherche de premier cycle implique souvent d'en apprendre suffisamment sur un domaine particulier pour prouver de nouveaux théorèmes. L'étudiant a encore besoin de passer du temps à apprendre d'autres domaines pour avoir les connaissances attendues d'un doctorat.

La vraie clé pour les étudiants de premier cycle qui cherchent à faire de la recherche publiable est de trouver une collaboration avec un bon mentor du corps professoral. La recherche indépendante par des étudiants de premier cycle est en effet assez rare (en fait, la majorité des articles de mathématiques actuellement publiés ont deux auteurs ou plus - même les experts bénéficient d'une collaboration). Le fil MathOverflow lié ci-dessus a plus de conseils d'autres mathématiciens.

Je peux vous raconter mon expérience car j'écris actuellement une thèse de premier cycle (bien que comme projet d'été).

Je suis étudiant de premier cycle étudiant en mathématiques effectuant actuellement un stage d'été «introduction à la recherche». J'étudie la théorie des probabilités.

En tant qu'étudiant de première année, environ la moitié de mon temps a été consacrée à consolider mes connaissances en mathématiques en probabilités, en théorie des mesures et en analyse. J'ai également passé pas mal de temps à étudier des articles spécialisés, et finalement j'ai appliqué la théorie générale que j'ai étudiée à un problème spécifique, où j'ai prouvé quelque chose de «nouveau», tout en suivant de très près les autres résultats publiés. Sur le chemin, j'ai également prouvé quelques lemmes, qui, bien que non d'intérêt général, sont «nouveaux» et intéressants pour moi.

De toute évidence, les étudiants de premier cycle ne sont pas censés trouver des résultats révolutionnaires d'intérêt général . Cependant, ils peuvent contribuer aux mathématiques en résumant et en rassemblant les résultats liés à partir de plusieurs articles, en appliquant de nouvelles théories, en trouvant des exemples, etc.

Un conseil.

Vous ne devriez pas viser de grandes découvertes, mais plutôt simplement essayer de faire vos propres mathématiques. Posez-vous beaucoup de questions «stupides» et trouvez leurs réponses. C'est ainsi que vous vous retrouverez avec quelques petits nouveaux résultats. Assurez-vous que vous pouvez avoir une vue d'ensemble de votre domaine d'études, que vous le regardez d'un point de vue critique et que vous comprenez les problèmes qui le motivent.

Faites fréquemment des étudiants de premier cycle en mathématiques prouver de nouvelles choses?

Oui. Mais pas de grandes choses, et parfois des choses qui pourraient déjà être connues des experts (mais pas largement accessibles). Je pense que c'est assez bien pour un étudiant de premier cycle de prouver des choses qui sont nouvelles pour lui / elle et ses camarades de classe / conseiller / etc.

Certaines des prémisses implicites de ce type de questions, ou les prémisses implicites des réponses à la question, sont vraiment le problème. Je serais tout à fait d'accord que les étudiants de premier cycle de tous les "calibres" devraient "être dans la salle" quand quelque chose ressemblant à des mathématiques "en direct" est discuté. Mais / et cela est plus significatif lorsque nous examinons la fausseté, l'artificialité et la stérilité du programme de premier cycle typique: c'est faux et moribond, sans possibilité immédiate pour quiconque de faire quoi que ce soit, et sans aucune allusion à la réalité non plus. Effrayant, oui. Mais cela n'implique pas immédiatement une sorte d '«opposé», que les novices ont besoin de très peu de savoir pour apporter des contributions significatives. L'habileté brute s'est déjà exercée, assez systématiquement, depuis quelques centaines d'années (des milliers?). Les gens ont appris des choses utiles, et ne pas les savoir, c'est ne pas savoir comment changer un pneu, ou une ampoule, ou un filtre de fournaise, ou ouvrir la porte. Non pas que le programme habituel aide beaucoup non plus, je suis d'accord! Mais cela ne signifie pas que les compétences opérationnelles de base (impliquant parfois des mathématiques subtiles, littéralement, ici) ne sont pas pertinentes. Sortir du truc dégénéré des "maths scolaires" est excellent ... mais penser que cela signifie "nous n'avons besoin de rien savoir!" est évidemment idiot ... même si attrayant. "Compliqué".