Lors d'un examen de mathématiques récemment, on a demandé aux étudiants d'utiliser la définition d'une limite d'une séquence pour prouver que la séquence donnée par 3n / (3n + 5) converge vers 1. Étant donné un nombre positif Ɛ, la définition nécessite prouvant l'existence d'un certain nombre N tel que si n> N alors | 3n / (3n + 5) - 1 | <Ɛ.
En conséquence de la définition, une fois qu'un N suffisamment grand est trouvé, tout une plus grande valeur de N suffira également. De nombreux élèves fixent | 3n / (3n + 5) - 1 | = 5 / (3n + 5) <Ɛ et résolvent pour n pour trouver N = (5-5Ɛ) / (3Ɛ). Cependant, le professeur a décidé d'inclure une étape supplémentaire: 5 / (3n + 5) < 5 / n <Ɛ, ce qui conduit à une autre valeur suffisante N = 5 / Ɛ.
Bien que la plupart des étudiants aient donné une preuve correcte (conformément à la définition de leur livre), le conférencier a retiré des points parce qu'il n'a pas trouvé la "meilleure" valeur de N. Le conférencier affirme que l'auteur aurait utilisé des inégalités (inutiles) pour trouver le "meilleur" N , ce qui est probablement vrai.
Lorsque les élèves se plaignent de perdre des points, je leur dis que leur réponse est correcte et qu'ils devraient chercher à obtenir le mérite de leur travail. Le conférencier suggère que je mets les étudiants dans une position dans laquelle ils peuvent "choisir un camp" et qu'en fin de compte, c'est le professeur qui est responsable.
Qui a tort ici?
Mise à jour: Je n'ai été informé de la décision du conférencier de supprimer des points qu'après avoir rendu les mi-sessions à la classe. Une fois que les étudiants ont commencé à me poser des questions sur les points manquants, la seule justification écrite laissée par le professeur était "pas le meilleur N."
Par "meilleur N", le professeur faisait référence à la valeur N trouvée en utilisant le inégalité supplémentaire 5 / (3n + 5) < 5 / n <Ɛ. Par «meilleur», il ne veut pas dire «le plus petit» (et par définition, il n'y a pas de N le plus grand).
La nature du litige rend ce problème difficile.
En tant qu'étudiant en mathématiques (BS) et en informatique (MS, PhD), j'ai fait de nombreux exercices qui nécessitaient la preuve de l'existence d'un nombre naturel N tel que pour tout n> N une certaine inégalité est vraie. En plus des limites en mathématiques, elles apparaissent dans l'analyse de la complexité informatique des algorithmes.
Chaque fois que j'ai fait l'un de ces exercices, j'ai choisi une valeur de N qui rendait la preuve aussi simple et claire que je pourrait. Souvent, j'étais au courant d'une plus petite valeur de N qui aurait nécessité une preuve plus longue. Je n'ai jamais été marqué pour avoir choisi une valeur inutilement grande de N.
Toute valeur finie N, quelle que soit sa taille, telle que l'inégalité est prouvée vraie pour tout n> N est également bonne. C'est un aspect important de ces définitions, quelque chose que les élèves devraient comprendre et appliquer.
Si la petitesse de N devait être un facteur de notation, malgré sa non-pertinence, cela aurait dû être annoncé à l'avance.
Cela dit, il aurait été préférable que l'OP discute de la question en privé avec le professeur, et peut-être avec des professeurs plus expérimentés. Le PO ne doit pas encourager directement les manifestations, mais doit énoncer la décision du professeur et recommander que les suivis soient transmis directement au professeur ou proposer de les transmettre au nom des étudiants.
Les mathématiques permettent une vérité objective. Si les élèves répondent correctement à une question, ils méritent tout le crédit. Je ne pense pas que vous ayez tort de défendre vos élèves ou de les encourager à défendre leurs intérêts.
Mathématiquement, vous avez clairement raison. Toute personne raisonnable devrait être d'accord avec vous. Le problème a demandé de prouver qu'une limite tient, ils l'ont prouvé, point final. "Trouver le N optimal pour un epsilon donné" n'a rien à voir avec la question posée [0]. Puisque votre professeur n'est pas d'accord avec vous, je soupçonne qu'il n'est pas une personne raisonnable.
Cela dit, il est toujours ennuyeux pour lui si vous «allez contre lui» en disant aux étudiants de faire appel la note (appel qu'ils gagneraient, si cela est fait honnêtement). En avez-vous déjà discuté avec lui avant d’en discuter avec les élèves? Qu'a-t-il dit?
Alors pourquoi ne proposez-vous pas à votre professeur un compromis? Demandez-lui de changer la question de «prouver la limite» à «trouver le N optimal tel que cette inégalité se vérifie». Ou "Une fois que vous avez prouvé la limite, donnez une estimation du plus petit N de telle sorte que l'erreur soit inférieure à epsilon."
Vous pouvez en quelque sorte ajouter du contexte à la question pour la rendre plus sensible, par exemple en en disant que f (n) est le pourcentage de criminels arrêtés en fonction du montant d'argent dépensé, et que vous voulez atteindre un certain pourcentage.
En bref, s'il veut poser une question sur l'optimalité de N, faites-lui poser cette question, pas une question sans rapport.
[0] Personnellement, je dirais que c'est en fait nocif. Comprendre que tout intervalle fini peut être ignoré et que nous devrions nous concentrer sur ce qui se passe pour N arbitrairement grand est un point crucial pour comprendre la convergence et la limite à l'infini. Cette obsession du N optimal exact est néfaste, car elle donne l'impression qu'elle compte; il serait plus avantageux de montrer à la place comment une inégalité compliquée, par exemple, peut être simplifiée en considérant simplement N incroyablement et déraisonnablement grand. Cela n'a pas d'importance, car nous ne nous préoccupons que de ce qui se passe à l'infini.
Je pense que la seule chose que vous avez peut-être mal faite est d'envoyer les étudiants chez le professeur. Cela pourrait être (mais pas nécessairement) interprété comme portant atteinte à son autorité, et les TA doivent surveiller cela attentivement.
Mais j'ai toujours demandé à mes AT de défendre les étudiants. Je veux que le TA vienne me voir avec mes erreurs ou tout autre problème qu'il trouve. Au moins une fois par semestre, je commence une conférence par: «M. Johnson m'a informé que ... et voici donc ce que nous ferons ... Et je veux que vous vous souveniez tous, lorsque le moment de l'évaluation des étudiants arrivera, que M. Johnson a défendu pour vous, au grand risque personnel pour lui-même. " Des flous chaleureux tout autour.
Quoi qu'il en soit, je pense que la manière de gérer de telles choses est de débattre avec le conférencier. Si vous perdez le débat, vous pouvez dire aux étudiants que vous êtes d'accord avec leur plainte, mais que vous en avez parlé au conférencier et qu'il ne change pas d'avis. Vous pouvez les informer des voies de recours du département pour les appels de notes, mais leur dire qu'un problème aussi mineur n'en vaut probablement pas la peine.
Personnellement, je pense que vous avez raison; d'autres personnes qui ont répondu pensent que vous avez tort. Permettez-moi de vous donner quelques conseils supplémentaires sur ce qu'il faut faire maintenant:
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Il ne vaut probablement pas la peine d'aggraver davantage la situation. Aucun de vous ne changera probablement d'avis.
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Vous pourriez rencontrer votre directeur des études supérieures, votre directeur de département ou toute autre personne chargée de superviser l'enseignement des cycles supérieurs dans votre département. Demandez-leur ce que vous devriez faire à l'avenir, lorsque l'instructeur prend une décision qui vous semble erronée et que les élèves s'en plaignent.
Une conséquence possible est qu'à l'avenir, on vous demandera de faire de l'AT sous un autre professeur. C'est probablement une conséquence dont vous seriez heureux.
La question de base est s'il est approprié pour vous d'exprimer votre désaccord avec l'instructeur compte tenu de votre rôle d'AT. Je dirais que, dans le milieu universitaire, il est tout à fait raisonnable que vous exprimiez votre désaccord; que le milieu universitaire n'est pas le lieu du silence subalterne.
Vous avez généralement raison
Il semble que nous puissions établir un tas de trucs sans controverse:
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Mathématiquement, vous avez raison.
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C'est surtout l'appel à faire par l'instructeur du cours.
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Les étudiants qui ne sont pas d'accord avec la politique de notation doivent parler à l'instructeur du cours.
Le point controversé semble être de savoir si ou non, vous êtes autorisé à exprimer votre désaccord avec la décision de l'instructeur. Les gens raisonnables peuvent aller dans les deux sens sur ce problème.
Dans les contextes commerciaux typiques, les employés sont généralement censés éviter d'exprimer leur désaccord avec leurs supérieurs. Dans des environnements encore plus autoritaires, par ex. dans une chaîne de commandement militaire, un tel désaccord est activement puni.
Cependant, l'un des principaux tenants du monde universitaire est la liberté académique. Il semblerait inapproprié d'exiger d'un universitaire (comme vous) qu'il ne partage pas son opinion sur un sujet académique (comme une question d'examen) aux étudiants.
Cela peut être abordé de manière diplomatique
Lorsque vous partagez votre opinion personnelle, vous pouvez l'exprimer comme une perspective personnelle en tant qu'universitaire dans le domaine. Cela semble tout à fait dans vos droits.
Ensuite, les élèves pourraient vous demander pourquoi, si vous êtes d'accord avec eux, vous ne corrigez pas le problème. La réponse simple est que vous ne pouvez pas; que c'est la décision de l'instructeur, pas la vôtre.
Les étudiants raisonnablement intelligents auront tendance à comprendre que cela signifie qu'ils doivent parler à l'instructeur sans que vous ne leur demandiez explicitement de le faire.
Conséquences professionnelles
Sachez que votre instructeur ou autre sélectionneur de poste peut préférer avoir une loyauté inconditionnelle et choisir de ne pas vous attribuer un poste à l'avenir, ou d'écrire une lettre de recommandation plus faible (le cas échéant) s'il est suffisamment contrarié. Rester fidèle à des problèmes comme celui-ci comporte des risques inhérents.
Cela dit, personnellement, j'ai choisi de le faire dans le passé. Lorsque les étudiants se sont plaints d'une décision avec laquelle je n'étais pas d'accord, je leur ai dit sans détour que, oui, l'instructeur avait tort, et qu'ils auraient besoin d'en parler avec l'instructeur car c'est toujours leur appel à prendre.
Vous obtenez deux réponses:
- Le conférencier est votre supérieur, il prend les décisions
- Mathématiquement vous avez raison
Puisqu'il s'agit d'un cours de mathématiques, et non de gestion, de politique ou de militaire, il me semble que la deuxième réponse est clairement la bonne réponse, et que vous avez raison.
Quand j'ai lu cette question pour la première fois, j'ai été étonné par la nécessité de trouver un N "optimal" pour prouver la convergence car cela montre un manque de compréhension de ce qu'est une limite. Dans ma classe (j'ai fait du travail d'AT), un élève obtenait un crédit complet, même pour la factorielle de la réponse de référence.
Mais ensuite j'ai remarqué que j'avais mal lu la question. En fait, le N du professeur est plus grand que celui de l'étudiant, il est donc définitivement "non optimal". Mais la réponse 5 / Ɛ est plus simple à écrire et à utiliser davantage si nécessaire.
Je pense qu'il y a une valeur pédagogique à montrer que vous pouvez affaiblir vos déclarations pour simplifier les calculs. On peut trouver de telles étapes «inutiles» (comme OP les appelle) dans de nombreuses preuves vraiment compliquées. Combien ces connaissances devraient coûter aux étudiants en question dépend de leur professeur.
Je suis d'accord avec beaucoup de sentiments dans les commentaires / réponses ici, mais --- et je suis en train de mal interpréter la question --- ma première supposition d'après ce que vous avez dit est que les élèves qui ont perdu des points ont perdu des points pour avoir utilisé des inégalités qui exigeaient justification dans l'esprit du professeur, pas parce qu'ils n'ont pas utilisé la même limite que le professeur. Cela correspond-il à votre situation? Déduire des points pour justification incomplète est bien sûr raisonnable pour les preuves, bien que le point de tracer la ligne soit un jugement, et celui qui revient au professeur, bien que vous puissiez être en désaccord.
Dans tous les cas, si vous ne savez pas pourquoi il a retiré des points, vous devez lui demander ou diriger les élèves vers. Vous ne devez jamais dire aux élèves de faire campagne pour une rubrique de notation différente.
Il est un peu difficile de répondre à votre question car je ne trouve pas tout à fait clair quel est le point de discorde. Mais en lisant entre les lignes, je pense que je peux en trouver deux.
- Le conférencier dit "en fin de compte, le conférencier est responsable". Il est mort ici. Vous travaillez sous sa supervision. Vous pouvez discuter et ne pas être d'accord avec son opinion, en fait, vous devriez le faire (tant que c'est faisable: peut-être pas s'il y a 1000 étudiants dans le cours et que les notes doivent être définitivement finalisées à l'heure du déjeuner). Mais finalement, c'est sa décision. Si vous n'êtes toujours pas satisfait de cette décision - si vous pensez qu'elle est mathématiquement et pédagogique incorrecte - alors vous pouvez aborder la question avec une autorité supérieure. Mais ce n'est pas quelque chose que vous devriez faire à la légère.
- Le professeur dit que vous permettez aux étudiants de "choisir un camp". Il a complètement tort ici. Tant que vous donnez le même conseil à tous les étudiants occupant ce poste, vous laissez toutes les décisions au professeur - ce qui est de toute façon son travail. Les étudiants ne peuvent pas choisir entre deux côtés. On dirait plutôt ici que le conférencier dit "vous devez soutenir ce que je dis parce que je le dis" - ce qui n’est ni savant, ni professionnel, ni mathématique.
Vous n’avez pas demandé quoi vous devriez le faire, mais au cas où vous voudriez mon avis - ne faites rien sur le premier point, à moins que (comme je l'ai déjà dit) vous ne vous sentiez assez fortement pour aller plus haut. Mais je ne recommanderais pas cela. Concernant la seconde, je vous suggère de signaler courtoisement au conférencier que vous ne suggérez pas aux étudiants de modifier leurs notes, mais que vous les renvoyez à lui pour qu'il prenne la décision, comme c'est son droit. (Et son devoir - mais il serait peut-être plus délicat de ne pas le mentionner.)
De plus, gardez un sens du recul et voyez si vous pouvez encourager les élèves à le faire aussi. J'imagine que c'est probablement une petite partie de la marque pour une petite partie d'un petit devoir.
Pour mémoire, j'ai une certaine sympathie pour l'attitude du conférencier (mathématique c'est-à-dire - je n'ai aucune sympathie pour son attitude professionnelle). Les mathématiques, en particulier pour les étudiants avancés (vous n'avez pas dit de quel niveau il s'agit) ne devraient pas toujours être marquées comme bonnes ou mauvaises et rien d'autre. Cela dit, je doute que j'aurais marqué les devoirs comme il l'a fait dans ce cas particulier.
La réponse de l'AT est mathématiquement correcte. Cependant, la société humaine implique une hiérarchie, basée sur la seule règle que le patron a toujours raison.
Il existe d'autres valeurs de N (par exemple 6 / epsilon) qui prouve également la convergence. La seule erreur dans ce contexte serait de le prouver sur la base du fait que 1 / n converge vers zéro. Dans ce cas, on peut être accusé d'une preuve circulaire.
Le fait que le conférencier pense que son approche est la seule correcte est une preuve de ne pas comprendre le sujet (dans mon cas, étudié en neuvième année).
Mon conseil: mordez la balle et laissez le conférencier revendiquer la justesse. À long terme, travaillez pour quelqu'un dont vous avez quelque chose à apprendre.
Je pense que le résultat devrait dépendre de la question exacte qui a été posée:
- si les étudiants étaient uniquement tenus de fournir une preuve, ce qu'ils ont fait, ils devraient obtenir un crédit complet.
- si la question mentionnait que la "meilleure" valeur de N devait être trouvée, et définissait ce qui était considéré comme le meilleur, le professeur est libre de décoller des points pour les réponses qui ne répondent pas aux critères spécifiés dans la question.
Il serait inapproprié de pénaliser les étudiants simplement parce qu'ils n'ont pas deviné ce que le professeur avait en tête.